宇宙膨胀背后的故事（之五）：挑战爱因斯坦的宇宙

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| 程 鹗

1916年夏天，就在发表广义相对论一年后，爱因斯坦应邀到荷兰的莱顿市访问三个星期，与老朋友洛伦兹（Henrik Lorentz）、埃伦菲斯特（Paul Ehrenfest）等切磋他的新理论。在那里，他还结识了比他大7岁的天文学家德西特（Willem de Sitter）。德西特是研修数学出身，对广义相对论倒也不怎么发怵。

第一次世界大战已经激战正酣。夹在敌对的德国和英国之间的荷兰勉力保持着中立，无意中成为科学交流的一个桥梁。德西特将爱因斯坦的论文转寄给英国同行、剑桥天文台主任爱丁顿，才有了爱丁顿几年后证实敌方科学家理论的历史佳话。

很可能也正是出于德西特的提醒，爱因斯坦意识到他的理论可以走出假想中的电梯而面向整个宇宙，才有了1917年初的“爱因斯坦宇宙”。

德西特也没有闲着。因为战争的阻碍，加之广义相对论艰涩难懂，爱丁顿请他为英国天文学会月刊撰稿，面向天文学家介绍这个新理论。于是，德西特在1916 和1917 两年中接连在英国发表了三篇论文，题目都是《论爱因斯坦的引力理论及其在天文学中的应用》（On Einstein's Theory of Gravitation and its Astronomical Consequences）。最后一篇发表于1917年10月。

1898年左右的荷兰天文学家德西特。

那年年初，他看到了爱因斯坦发表的宇宙模型，觉得不甚满意。作为天文学家，他最关心的是为什么会有那么多星星、星云的光谱呈现红移，似乎都在急于逃离我们的太阳系。爱因斯坦没有给出这个答案，甚至压根未置一词。德西特意识到作为理论物理学家的爱因斯坦对当时的天文学进展既不熟悉也不关心。因此，他那个“有限无边”的宇宙不但令人无法理解，也无从与现实对应。于是他决定自己试一试。

虽然爱因斯坦已经把宇宙简化成了“球形的奶牛”，德西特认为他还可以再进一步：爱因斯坦假设宇宙中的物质密度完全均匀，处处一样。德西特则觉得对整个宇宙来说，物质的密度实在很小，可以忽略不计。因此，这个质量密度完全可以再简化为零：一个空空荡荡、没有物质的世界。

和爱因斯坦一样，他也是在寻求一个不随时间而变的恒定解。经过一番探索，他还真找出了这样的一个解。或者说，至少是一个数学上可以存在的解。

虽然广义相对论是“质量告诉空间如何弯曲”，德西特这个没有质量的宇宙却也有着与爱因斯坦宇宙类似的弯曲。神奇的是，在他这个时空中，光的频率会越传播越低：离光源越远的光的波长越大。也就是说，光的传播本身是一个红移的过程。

德西特因而大喜，将这个成果作为他的第三篇论文在英国发表。他提出，天文学家观察到的星云光谱红移也许不是星云真的在运动，而只是相对论时空弯曲造成的错觉。

自然，德西特在撰写论文之前就写信给爱因斯坦通报了他的发现。爱因斯坦大惑不解，回信直言这实在莫名其妙（does not make sense to me）：一个没有物质存在的宇宙应该没有任何意义。

不过，爱因斯坦也不得不纠结。他认为广义相对论是一个全面、终极性的理论，不需要再外加其它条件、参数就可以描述整个宇宙。因此，她所能给出的宇宙解应该是单一的。所以他在引进那个宇宙常数，因而找到一个随时间恒定不变的解之后便以为大功告成，没有再深究，以至于没有考虑过他的方程是否还会存在着另外的解。

德西特的宇宙模型虽然比爱因斯坦的更为怪异、费解。但他好歹把广义相对论框架下的宇宙与现实的光谱红移现象联系了起来，引起了更多天文学家的兴趣。只是当时无论是物理学家还是天文学家都一筹莫展，既无法领悟理论的精髓，也没能理解红移的来源。

而在欧洲，战争正在干扰着正常的科学研究。

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尽管战争阻碍了广义相对论在科学界的交流，这个理论最早的突破性进展却出现在战场上，几乎就是战壕里。

施瓦西（Karl Schwarzschild）是一个在德国出生、长大的犹太天才儿童，16岁以前就发表了两篇关于双星轨道的科学论文。20世纪初，他在哥廷根大学任教授，是希尔伯特、闵可夫斯基（Hermann Minkowski）这些研究相对论的数学高手的同事。

当一战爆发时，施瓦西已经40出头，还是普鲁士科学院的院士。他却毅然投笔从戎加入了德国陆军。1915年爱因斯坦发表广义相对论时，他正在俄国前线指挥炮兵奋战，同时用他的数学知识设计弹道、命中率的计算和优化。

战斗间隙，他依然操起旧业，推导出广义相对论场方程的第一个解。（此前，爱因斯坦一直是采用近似方法做数值演算。）1915年12月22日，他写信给爱因斯坦汇报，不无得意地炫耀：“您看，战争对我足够好。让我在激烈的炮火下还能逃逸到您的思想领域中徜徉。”

爱因斯坦收到信不禁叹为观止，回信曰：“我从来没有想到这个问题的严格解可以表述得如此简洁。”（I would not have expected that the exact solution to the problem could be formulated so simply.）他立刻在普鲁士科学院宣读了施瓦西的论文。

施瓦西相继担任过哥廷根天文台、波茨坦天体物理天文台的台长。他的兴趣也已转往天文学，希望能通过广义相对论找到一个新的宇宙图像。不幸的是，他感染了天疱疮，不久于1916年5月11日辞世。

施瓦西不可能知道的是，在他战场对面，也有一位渴望着理解宇宙奥秘的理论物理学家。

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早在1907年，埃伦菲斯特曾经因为妻子的缘故搬家到俄国，在国立圣彼得堡大学任教。他开了一个每周一次的即兴讲座，畅谈量子力学、统计物理以及相对论的最新进展。这个讲座吸引了很多年轻学生，其中有弗里德曼（Alexander Friedmann）和塔马金（Jacob Tamarkin）。

弗里德曼的父亲是作曲家、芭蕾舞星，母亲是钢琴师。他们的后代钟情的却不是音乐而是数学。弗里德曼小学时就结识了后来成为著名数学家的塔马金，结成形影不离的死党。两人高中时合写了一篇关于伯努利数（Bernoulli numbers）的论文，不知天高地厚地寄给了希尔伯特，居然被他选中在《数学年鉴》（Mathematische Annalen）上发表。

弗里德曼大学毕业后一边继续攻读硕士学位，一边在天文台上班，研究气象学。一战爆发后，他志愿投身俄国空军，驾驶轰炸机战斗在奥地利、德国前线。就在施瓦西为德军推算火炮瞄准表格时，弗里德曼也在用他的数学技能为俄军编制飞机投弹指南。与施瓦西不同的是，弗里德曼没有在沙场捐躯。

俄国退出战争后，弗里德曼又陷入红军与白军拉锯内战的险境。等到他终于辗转回家时，俄国已经变成了苏联，圣彼得堡变成了彼得格勒。为了生计，他在那里四处兼职，一边教学一边重新开始科研。

1922年左右的苏联数学家弗里德曼

虽然爱因斯坦的狭义相对论很早便为俄国科学家所熟知，广义相对论却被战争阻挡在境外，直到战后爱丁顿的日全食实验轰动全球才被知晓。一位当初被战争隔绝在德国，结果阴错阳差地在哥廷根成为希尔伯特助手的俄国物理学家这时也回国，为弗里德曼带来了最新的进展。他便一头扎进了广义相对论的宇宙模型。

他发现，在假定宇宙不随时间变化的前提下，爱因斯坦和德西特分别发现的确实是场方程所能有的两个解，不会再有其它可能。但他更觉得这个假定本身很迂腐，并不具备“理所当然”的合理性。他主张把场方程看作纯粹的数学方程来求解，不但要看到这里面的宇宙长什么样，更可以看看它随时间如何演变。

这一来，他发现这个方程的解可以有很多很多——其实是无穷多。在这些解中，有着几种奇怪的宇宙。与爱因斯坦刚开始就发现的那样，宇宙的大小会随时间变化。

如果爱因斯坦引进的那个宇宙常数的数值与宇宙中质量密度相比足够大，宇宙会“从零开始”慢慢变大，经过一个拐点（inflection point）之后便急剧膨胀到无穷大。如果宇宙常数不够大，宇宙也会逐渐变大，但其起点却是已经有一定大小。最有意思的是——至少对弗里德曼自己来说——如果宇宙常数是零（也就是如果爱因斯坦压根没有引进过这个无中生有的项）或负数，宇宙会从零开始逐渐长大，达到一定的最大值后又会反过来逐渐收缩，直到回归为零。或者说，宇宙大小可以像弹簧似的来回振动。

后来，弗里德曼还发现这些解中宇宙的空间形状也会有不同，并不都是爱因斯坦所描述的那种“有限无边”的球。他的宇宙可以是一个球（“正曲率”），也可以是一个马鞍（“负曲率”），甚至还可以就是我们日常所熟悉的平坦欧几里德（Euclid）空间（“零曲率”）。

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弗里德曼的论文陆续发表在德国的《物理学报》（Zeitschrift fur Physik)上。爱因斯坦看到第一篇后就很不以为然。他已经在为德西特的宇宙头疼，更不能容忍一下子又冒出这么多不同的宇宙来。1922年9月，他给《物理学报》投寄了一封信，质疑弗里德曼的论文，认为那只是由一个数学推导错误所导致。

信寄出后，爱因斯坦便启程赴日本讲学。正是在途径中国上海的11月13日，他得知自己因为“光电效应”荣获了1921年的诺贝尔物理学奖。

弗里德曼看到爱因斯坦的批评后也丝毫不含糊。他在12月给爱因斯坦去信，附上他详细的推导过程请爱因斯坦验证、指出具体错在哪里。“如果您发现这些计算其实是正确的，”弗里德曼不客气地要求，“那就请好心的您向《物理学报》编辑澄清，也许您应该发表一篇订正。”

爱因斯坦来年3月份回到柏林后一直没看到这封信，后来5月份再度访问荷兰时在埃伦菲斯特家中遇到弗里德曼一位同事才经提醒知道有这么一回事。经过一番研究，爱因斯坦发现的确是自己的不对。他果然立即给《物理学报》去信收回他早先的评论，承认那是他自己推导中出了错而弗里德曼的解是正确的。

爱因斯坦手写的原稿最后还有一句话，指出弗里德曼的结果仍然不具备物理意义（“to this a physical significance can hardly be ascribed”）。但他随即删掉了这句话，把异议留在了自己的心底。

爱因斯坦1923年写给《物理学报》信件底稿，收回他对弗里德曼论文的批评。手稿显示他删去了他当时依然持有的批评意见。

彼得格勒又变成了列宁格勒。弗里德曼成为那里地球物理天文台台长。1925年7月，他亲自搭乘气球上升到史无前例的7400米高空进行气象测量，可能因此感染了伤寒症（typhoid），于9月16日不治去世。

他年仅37岁。

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1919年11月6日，英国王家学会、王家天文学会联合举办盛大晚会，听取爱丁顿汇报他的日全食测量结果。汤姆森爵士（Joseph John Thomson）宣布这是人类思想史上最伟大成就之一。会后，将信将疑的西尔伯斯坦（Ludwig Silberstein）向爱丁顿求证：据说世界上只有三个人懂得广义相对论，而您就是其中之一。爱丁顿沉思未语。西尔伯斯坦赶紧圆场：“您不必谦虚。”爱丁顿说：“正相反，我是在想那第三个人会是谁。”

喜欢促狭的爱丁顿也并没有太离谱。广义相对论数学之复杂让即使是理论物理学家——德西特、弗里德曼是显然的例外——都望而却步，更何况那些需要整晚整晚埋头看星星的天文学家。因此，在相当一段时间，宇宙模型还只是爱因斯坦他们几个人小圈子里面的纸上谈兵。天文学家虽然对德西特宇宙中存在的红移好奇，却还没有精力、能力探究这些不同宇宙模型的孰是孰非。

他们有更迫切的问题需要操心。

尽管在一战前后，天文观测技术已经有了长足的进步，几十年前的大问题却依然如旧：我们看到的银河是宇宙的全部吗，还是天外有天？星云是在银河内部，还是银河外自成一体的“岛屿宇宙”？银河——或宇宙——有多大？

多普勒、哈金斯的贡献既让天文学家兴奋，也让他们尴尬。因为多普勒效应最大的特点是与距离无关。无论光源有多远，只要我们能接收到它发出的光，只要有足够的光强可以辨识光谱，就可以非常准确地测量出光源的（径向）速度。但这个优点同时也是一个非常大的缺点：我们因此无法知道光源的距离。

要想看到整个的宇宙，仅仅有一个测速仪是远远不够的。还必须找到一把能丈量宇宙的尺子。

（待续）

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